Заметка

Статистические модели трендов. Смещение среднего.

  0  

Попросили объяснить без специальных терминов, что такое персистентность и как она связана с трендовостью рынка. Совсем без терминов вряд ли получится, но если их минимизировать, то достаточно одного понятия — плотность вероятности.

Плотность вероятности — это функция, интеграл интервала которой дает нам вероятность попадания в этот интервал. Или, в простейшем случае, если мы рассматриваем ее эмпирическую оценку в виде гистограммы распределения, это будет просто частота попадания в набор фиксированных интервалов. 
Для примера рассмотрим гистограмму нормального распределения.

/

Собственно, что мы видим — это разбиение на набор фиксированных интервалов, затем подсчет попадания каждого значения в тот или иной интервал, который дает частоту. Если мы хотим посчитать частоту попадания в бОльший интервал (например от 0 до 2), то нам необходимо сложить(проинтегрировать) частоту попадания во все маленькие интервалы внутри этого отрезка [0, 2]. Таким образом плотность вероятности дает возможность, зная интервал, получить вероятность попадания в него. Или, если рассматривать на более «интуитивном» уровне, — показывает, какие значения выпадают более часто, а какие менее. В приведенном примере наиболее часто выпадают значения вокруг нуля распределения, а затем оно постепенно спадает. 

Если мы рассмотрим распределение как набор значений, расположенных во времени (привычные для трейдинга представления в виде графиков числовых рядов), то получим для все того же нормального (гауссового) распределения следующую картинку:

Как и ожидалось из гистограммы распределения, 95% значений находятся внутри интервала от -2 до +2 с центром в 0. 

Каждый наверняка видел график случайного блуждания, а этот на него мало похож. Разница в том, что для того чтобы получить случайное блуждание, необходимо последовательно сложить эти значения. Или, наоборот, чтобы получить из случайного блуждания распределение приращений, необходимо взять разность соседних значений.

Таким образом, мы подходим к первой простейшей модели тренда. Рассмотрим такое распределение приращений: 

На глаз оно практически не отличается от предыдущего, но среднее (центр) значение сдвинуто на +0.1. Теперь просуммируем значения распределений для первого случая с нулевым и положительным (+0.1) смещением среднего. Так мы получим два графика случайных блужданий. 

Первый график (без смещения в мат. ожидании приращений):

И второй график (с «ничтожным»,ели различимым на графике распределения приращений, смещением +0.1):

Разница разительная, но на первом графике заработать не возможно, а на втором — вполне. 

В данном случае мы рассматриваем зависимость (смещение в мат. ожидании), которая не изменяется во времени, то есть стационарна, и равняется 0 для всего графика, или +0.1 — другого. Теперь представим, что эти значения сами изменяются во времени и представляют, например, кусочно-постоянную функцию, т.е. набор констант, из которого мы выбираем значение, действующее на каком-то интервале. Соответственно, если это значение положительное, возникает «растущий кусок тренда», если отрицательное — «падающий». А сам график «сшит» из таких интервалов с постоянными значениями. Таким образом мы получим приближенную к реальности простейшую динамическую модель тренда, у которой стационарное среднее приращений равняется 0, но при этом существуют интервалы, на которых оно отклоняется от 0 как в положительную, так и отрицательную сторону. При этом в среднем количество таких участков «уравновешивается», и мы получаем среднее всех приращений близким к 0.

Или если мы будем рассматривать среднее как функцию времени, то для кусочно-постоянной модели получим следующую картинку:

Или ввиде формулы: P_i+1 = P_i + A_k + N(0, 1) , где

A_k — это значение среднего на данном временном интервале (t_k, t_k+1),

N(0, 1) — стандартизированное нормальное распределение,

Pi — это получившийся стохастический процесс. 

Для примера рассмотрим реализацию такого стохастического процесса, при t_k = (0, 100, 200, 400, 450, 600, 650) и A_k = (+0.1, -0.1, +0.05, +0.15, -0.2, -0.05), что примерно соответствует представленному выше графику зависимости от времени. 

Первая реализация:

Вторая реализация:

Как видно, они мало похожи и в них гораздо менее очевидно наличие трендов по сравненинию с простейшим стационарным случаем, но, тем не менее, они там присутствуют, а значит на таком процессе возможно заработать.

В следующей статье мы поговорим о еще одной модели тренда, которая связана с персистентностью. Точнее, мы будем понимать под персистентностью авто-регрессивность числового ряда. 

Автор статьи — Владислав Гусев.

Оригинал статьи размещен на сайте StockSharp.

Комментарии

Николай Камынин — 27 июля 2012 г.

Добрый день,StockSharp
Немного критики.
1) Сначала Вы сказали что объясните "персистентность".
Но это слово появилось в первом и последнем предложениях.
2) А последнее предложение : "под персистентностью авто-регрессивность числового ряда" - все объяснило.
Вопросы:
1)Зачем все остальные предложения между первым и последним?
2)Зачем "авто-регрессивность числового ряда" заменять на "персистентность"?
3) Что такое "авто-регрессивность"?
Вы одно необъясненное слово заменили на два или наоборот.
Может дадите ссылку на понятие "авто-регрессивность"?
Спасибо

0 +

vlad1024 — 27 июля 2012 г.

Николай Комынин, персистентность бывает разная, в этой статье объясняется, персистентность как смещение среднего, в следующей статье, будет объеяснение персистентности как авто-регрессивности. Про авто регрессивность легко можно найти в гугле по запросу "авторегрессия".

2 +

Николай Камынин — 28 июля 2012 г.

Добрый день,vlad1024
1)Как я понял Вы нестационарный по первому моменту случайный процесс назвали "персистентность"
Можно назвать как угодно. Не понятно , зачем давно известные модели называть по-новому.
Может ссылку на первоисточник дадите?
2) "авторегрессия" тоже давно известное понятие, а вот "авто-регрессивность" - это что-то новое.
Вот я и хотел узнать именно про "авто-регрессивность".
3) Остальное у Вас выглядит очень все притянутым. Почему нормальный закон у первичного процесса? Цены не бывают отрицательными, а закон распределения их в большей степени кхи-квадрат, чем нормальный.
Затем Вы его интегрируете или дифференцируете. То, что картинка на что-то похожа, это не доказательство, а субъективное восприятие. Кто-то в кляксе видит цветок, а кто-то паука.
Не плохо было бы пояснить почему возникла необходимость переименовать "нестационарность" в "персистентность".
"А в остальном прекрасная маркиза -все хорошо,все хорошо"

-1 +

Написать комментарий

Чтобы написать комментарий, необходимо авторизоваться.

Написать администратору